SCHEDE ESPLORATIVE

 

 

Le schede di questa seconda parte sono proposte agli insegnanti come strumenti di lavoro: contengono alcuni quesiti utilizzabili per guidare l’attività degli studenti durante l’esplorazione dei modelli fisici. Le domande sono poste in ordine di difficoltà e le richieste più impegnative sono contrassegnate da un asterisco.

L’insegnante potrà scegliere dall’elenco relativo al modello esaminato i quesiti che ritiene più adatti, tenendo conto della situazione in cui si trova ad operare e del suo progetto didattico.  

Potrà ovviamente modificarne l’enunciato o aggiungere nuove richieste.

E’ preferibile che le domande siano proposte agli studenti una per volta: la lettura dell’elenco completo può infatti diminuire la loro concentrazione sui singoli problemi.

Traslazione

Doppio parallelogramma articolato (Kempe).    

a)

·       Quante aste rigide compongono il sistema articolato? C’è un’asta vincolata al piano? Individua i punti tracciatori (oppure tracciatore e puntatore). Quanti gradi di libertà possiedono?

·       Il meccanismo può essere descritto come assemblaggio di due compassi di Van Schooten? In che modo è realizzato l’assemblaggio?

·       Se il puntatore descrive un segmento, qual è la figura descritta dal tracciatore?

·       Se il puntatore descrive un triangolo, qual è la figura descritta dal tracciatore? Confronta la figura di partenza e quella tracciata dal sistema articolato: che cosa osservi?

·       Quando il puntatore percorre (in un verso determinato) il contorno di una figura, il tracciatore percorre nello stesso verso il contorno della figura corrispondente, oppure no?

·       Esistono punti uniti? Rette unite? Rette luogo di punti uniti? Altre figure unite?

·       Se rappresenti le aste che compongono la macchina mediante segmenti, si genera una figura geometrica che subisce deformazioni quando puntatore e tracciatore si muovono: quali sono le proprietà di questa figura invarianti durante il movimento?

·       Caratterizza la trasformazione realizzata (localmente) dal sistema articolato (si chiama traslazione).

·       Due figure corrispondenti in una traslazione (considerate appartenenti a due piani diversi sovrapposti) si possono sovrapporre punto per punto muovendo un piano rispetto all’altro? In caso affermativo, qual è il movimento più semplice per realizzare lo scopo ? (moto traslatorio).

·       Caratterizzare un moto traslatorio.

b)

·       Quanti gradi di libertà avrebbe il sistema articolato se fosse libero di muoversi nel piano?

·       Che forma hanno le regioni piane messe in corrispondenza dalla macchina? Disegnarle: si consiglia di far assumere alla macchina le configurazioni limite; tenere conto dei vincoli fisici. (**).

·       Individuare i parametri dello strumento, distinguendo quelli che determinano la traslazione da quelli che determinano soltanto le regioni corrispondenti dei piani sovrapposti.

·       Rappresentare mediante un unico sistema di riferimento cartesiano (adagiato sul supporto comune ai due piani sovrapposti) sia i punti del piano p iniziale (x, y) sia quelli del piano p¢ trasformato (x’, y’).

·       Quali equazioni consentono di calcolare le coordinate dei punti (x’, y’) a partire da quelle dei punti (x, y), per una traslazione assegnata?

·       Tali equazioni hanno valore locale o globale? Se si vogliono applicare le equazioni a una regione limitata del piano, quali condizioni occorre assegnare per le coordinate (x, y)? (*)

·       E’ corretto individuare una traslazione mediante un vettore? Perché?

·       Che aspetto ha lo strumento che realizza (localmente) una identità (interpretata come traslazione di vettore nullo)?

c)

·       Giustificare, utilizzando la macchina, la conservazione dell’allineamento, delle lunghezze e del parallelismo in una traslazione.(*)

 

Simmetria assiale

     Biellismo con rombo articolato.

 

a)

·       Da quante aste rigide è composto il biellismo? Due vertici del rombo scorrono entro una scanalatura rettilinea; quanti gradi di libertà hanno gli altri due vertici (tracciatore e puntatore; oppure: entrambi tracciatori).

·       Il meccanismo può essere descritto come assemblaggio di due compassi di Van Schooten? In che modo è realizzato l’assemblaggio?

·       Se il puntatore descrive un segmento, qual è la figura descritta dal tracciatore?

·       Se il puntatore descrive un triangolo, qual è la figura descritta dal tracciatore? Confronta la figura di partenza e quella tracciata dal biellismo: che cosa osservi?

·       Quando il puntatore percorre (in un verso determinato) il contorno di una figura, il tracciatore percorre nello stesso verso il contorno della figura corrispondente, oppure no?

·       Esistono punti uniti? Rette unite? Rette luogo di punti uniti? Altre figure unite?

·       Se rappresenti le aste che compongono la macchina mediante segmenti, si genera una figura geometrica che subisce deformazioni quando puntatore e tracciatore si muovono: quali sono le proprietà di questa figura invarianti durante il movimento?

·       Caratterizza la trasformazione realizzata (localmente) dal biellismo (si chiama simmetria assiale ortogonale).

·       Due figure corrispondenti in una simmetria assiale ortogonale (considerate appartenenti a due piani diversi sovrapposti) si possono sovrapporre punto per punto muovendo un piano rispetto all’altro? In caso affermativo, qual è il movimento più semplice per realizzare lo scopo ? (ribaltamento).

·       Caratterizzare un ribaltamento. Dopo il ribaltamento, la figura mostra la medesima faccia o una faccia diversa? (Recto/verso)

 

b)

·       Che forma hanno le regioni piane messe in corrispondenza dalla macchina? Disegnarle: si consiglia di far assumere alla macchina le configurazioni limite; tenere conto dei vincoli fisici.

·       Individuare i parametri dello strumento che determinano le regioni corrispondenti dei piani sovrapposti.

·       Rappresentare mediante un unico sistema di riferimento cartesiano (adagiato sul supporto comune ai due piani sovrapposti) sia i punti del piano p iniziale (x, y) sia quelli del piano p¢ trasformato (x’, y’).

·       Quali equazioni consentono di calcolare le coordinate dei punti (x’, y’) a partire da quelle dei punti (x, y)?

·       Tali equazioni hanno valore locale o globale? Se si vogliono applicare le equazioni a una regione limitata del piano, quali condizioni occorre assegnare per le coordinate (x, y)? (*)

c)

·       E’ possibile sostituire il rombo articolato con un altro quadrilatero? Con quali vantaggi o svantaggi? (*)

·       Giustificare, utilizzando la macchina, la conservazione dell’allineamento, della lunghezza dei segmenti, del parallelismo. (*)

·       Perché non si conserva il verso di percorrenza del contorno in due figure corrispondenti? (*)

 

Rotazione

Pantografo del Sylvester

 

a)

·         Da quante aste rigide è composto il sistema articolato? Caratterizzare i triangoli costruiti su due lati consecutivi. Individuare puntatore e tracciatore. Un vertice del parallelogramma articolato è imperniato al piano. Quanti gradi di libertà hanno puntatore e tracciatore? Il parallelogramma può durante la deformazione diventare un antiparallelogramma?

·         Rispetto ad un parallelogramma articolato semplice (senza triangoli) è diverso (nelle varie situazioni possibili: tutti i vertici liberi, un vertice imperniato al piano, due vertici imperniati al piano) i numero dei gradi di libertà? Perché?

·         Se il puntatore descrive un segmento, qual è la figura descritta dal tracciatore?

·         Se il puntatore descrive un triangolo, qual è la figura descritta dal tracciatore? Confronta la figura di partenza e quella tracciata dal sistema articolato: che cosa osservi?

·         Quando il puntatore percorre (in un verso determinato) il contorno di una figura, il tracciatore percorre nello stesso verso il contorno della figura corrispondente, oppure no?

·         Esistono punti uniti? Rette unite? Rette luogo di punti uniti? Altre figure unite?

·         Se rappresenti le aste che compongono la macchina mediante segmenti, si genera una figura geometrica che subisce deformazioni quando puntatore e tracciatore si muovono: quali sono le proprietà di questa figura invarianti durante il movimento?

·         Giustifica mediante un ragionamento l’invarianza delle proprietà elencate (dimostrazione). (**).

·         Caratterizza la trasformazione realizzata (localmente) dal sistema articolato (si chiama rotazione di ampiezza a  attorno a un centro). Qual è  il valore di a ?

·         Due figure corrispondenti in questa trasformazione (considerate appartenenti a due piani diversi sovrapposti) si possono sovrapporre punto per punto muovendo un piano rispetto all’altro? In caso affermativo, qual è il movimento più semplice per realizzare lo scopo?

b)

·         Che forma hanno le regioni piane messe in corrispondenza dalla macchina? (Si consiglia di far assumere al pantografo le configurazioni “limite”, e di tenere conto dei vincoli fisici) (*)

·         Quali parametri dello strumento determinano le regioni corrispondenti dei piani sovrapposti? Quali parametri individuano l’ampiezza della rotazione?

·         Rappresentare in un unico sistema di riferimento (cartesiano o no, adagiato sul supporto comune ai due piani sovrapposti) sia i punti del piano iniziale p, sia quelli del piano trasformato p¢.

·         Cercare le equazioni che consentono di calcolare le coordinate dei punti di p¢ a partire da quelle dei punti di p. In quale riferimento tali equazioni sono più semplici? Confrontarle con quelle della traslazione. (**).

·         Le equazioni determinate hanno valore locale o globale?

c)

·         Giustificare,utilizzando la macchina, la conservazione dell’allineamento, delle lunghezze e del parallelismo. (*)

·         Utilizzando Cabri, studiare il comportamento del pantografo nel caso in cui entrambi i triangoli isosceli abbiano gli angoli al vertice in B (fig. 1), oppure nel caso in cui uno di essi abbia il vertice in A e l'altro in B (fig. 2). (*)

  

fig. 1
fig. 2

 

 

Simmetria centrale

 

a)

·         Descrivere il sistema (numero di aste che lo compongono; caratteristiche del quadrilatero articolato; collocazione delle cerniere e del perno che lo vincola al piano; gradi di libertà; individuazione di puntatore e tracciatore).

·         Se il puntatore descrive un segmento, qual è la figura descritta dal tracciatore?

·         Se il puntatore descrive un triangolo, qual è la figura descritta dal tracciatore?

·         Confronta figura di partenza e figura tracciata: che cosa osservi? Quando il puntatore percorre in un verso determinato il contorno di una figura, il tracciatore percorre nello stesso verso il contorno della figura corrispondente?

·         Esistono punti uniti? Rette unite? Rette luogo di punti uniti? Altre figure unite?

·         Rappresentando le aste che compongono la macchina mediante segmenti, si genera una figura geometrica che subisce deformazioni quando puntatore e tracciatore si muovono: quali sono le proprietà di questa figura invarianti durante il movimento?

·         Il rombo articolato può diventare un antiparallelogramma?

·         Caratterizza la trasformazione realizzata (localmente) dal sistema articolato (si chiama simmetria centrale).

Due figure corrispondenti in questa trasformazione (considerate appartenenti a due piani diversi sovrapposti) si possono sovrapporre punto per punto muovendo un piano rispetto all’altro? In caso affermativo, qual è il movimento più semplice per realizzare lo scopo?

b)

·         Che forma hanno le regioni piane messe in corrispondenza dalla macchina?

·         Quali parametri dello strumento determinano le regioni corrispondenti dei piani sovrapposti?

·         E’ possibile sostituire al rombo un parallelogramma articolato lasciando immutate le proprietà della trasformazione realizzata dallo strumento?

·         Rappresentare in un unico sistema di riferimento (cartesiano o no, adagiato sul supporto comune ai due piani sovrapposti) sia i punti del piano iniziale p, sia quelli del piano trasformato p¢.

·         Cercare le equazioni che consentono di calcolare le coordinate dei punti di p¢ a partire da quelle dei punti di p.

·         La trasformazione realizzata da questo sistema articolato si può caratterizzare come una particolare rotazione? Determinarne ampiezza e centro.

c)

·         Giustificare, utilizzando la macchina, la conservazione dell’allineamento, delle lunghezze, del parallelismo. (*)

 

Stiramento

Quadrilatero del Delaunay

 

a)

·         Da quante aste rigide è composto il biellismo? Individuare puntatore e tracciatore. Caratterizzare la posizione dei punti che scivolano entro la scanalatura rettilinea s rispetto al puntatore P. Quanti gradi di libertà hanno puntatore e tracciatore?

·         Descrivere la struttura geometrica del pantografo. Quale relazione esiste tra la retta s e quella che congiunge puntatore e tracciatore?

·         Se il puntatore descrive un segmento, qual è la figura descritta dal tracciatore?

·         Se il puntatore descrive un triangolo o un quadrato, quali figure sono descritte dal tracciatore? Confronta le figure di partenza e quelle corrispondenti tracciate dal biellismo: che cosa osservi?

·         Quando il puntatore percorre (in un verso determinato) il contorno di una figura, il tracciatore percorre nello stesso verso il contorno della figura corrispondente oppure no?

·         Esistono punti uniti? Rette unite? Rette luogo di punti uniti? Altre figure unite?

·         Se rappresenti le aste che compongono la macchina mediante segmenti, si genera una figura geometrica che subisce deformazioni quando puntatore e tracciatore si muovono: quali sono le proprietà di questa figura invarianti durante il movimento?

·         Giustifica mediante un ragionamento l’invarianza delle proprietà elencate (dimostrazione). (*).

·         Caratterizza la trasformazione realizzata (localmente) dal sistema articolato (si chiama stiramento di rapporto k e asse s). Qual è  il valore di k ?

·         Scambia fra loro puntatore e tracciatore (il punto che era prima puntatore diventa tracciatore e viceversa) Come cambia il rapporto k?

·         Il valore di k può essere un numero positivo? (*)

b)

·         Che forma hanno le regioni piane messe in corrispondenza dalla macchina? (Si consiglia di far assumere al pantografo le configurazioni “limite”, e di tenere conto dei vincoli fisici) (*)

·         Quali parametri dello strumento determinano le regioni corrispondenti dei piani sovrapposti? Quali parametri individuano il rapporto k?

·         Rappresentare in un unico sistema di riferimento (cartesiano o no, adagiato sul supporto comune ai due piani sovrapposti) sia i punti del piano iniziale p, sia quelli del piano trasformato p¢.

·         Cercare le equazioni che consentono di calcolare le coordinate dei punti di p¢ a partire da quelle dei punti di p.

·         Le equazioni determinate hanno valore locale o globale?

c)

·         Giustificare, utilizzando la macchina, la conservazione dell’allineamento e del parallelismo. (*)

 

 

Omotetia

Pantografo di Scheiner

 

a)

·         Da quante aste rigide è composto il sistema articolato? Individuare puntatore e tracciatore. Un vertice del parallelogramma articolato è imperniato al piano in un punto O. Quanti gradi di libertà hanno puntatore e tracciatore?

·         Descrivere la struttura geometrica del pantografo.

·         Quali punti del sistema articolato rimangono allineati con il perno fisso durante la deformazione del sistema?

·         Verificare ( e dimostrare) che il puntatore e il tracciatore hanno dal perno fisso distanze il cui rapporto k è costante.

·         Se il puntatore descrive un segmento, qual è la figura descritta dal tracciatore?

·         Se il puntatore descrive un triangolo, qual è la figura descritta dal tracciatore? Confronta la figura di partenza e quella tracciata dal sistema articolato: che cosa osservi?

·         Quando il puntatore percorre (in un verso determinato) il contorno di una figura, il tracciatore percorre nello stesso verso il contorno della figura corrispondente, oppure no?

·         Esistono punti uniti? Rette unite? Rette luogo di punti uniti? Altre figure unite?

·         Se rappresenti le aste che compongono la macchina mediante segmenti, si genera una figura geometrica che subisce deformazioni quando puntatore e tracciatore si muovono: quali sono le proprietà di questa figura invarianti durante il movimento?

·         Giustifica mediante un ragionamento l’invarianza delle proprietà elencate (dimostrazione). (*)

·         Caratterizza la trasformazione realizzata (localmente) dal sistema articolato (si chiama omotetia di rapporto k e centro O). Qual è  il valore di k ?

·         Scambia fra loro puntatore e tracciatore (il punto che era prima puntatore diventa tracciatore e viceversa). Come cambia il rapporto k?

·         Il valore di k può essere un numero negativo? (*)

b)

·         Che forma hanno le regioni piane messe in corrispondenza dalla macchina? ( si consiglia di far assumere al pantografo le configurazioni “limite” e di tener conto dei vincoli fisici. (*)

·         Quali parametri dello strumento determinano le regioni corrispondenti dei piani sovrapposti? Quali parametri individuano il rapporto k?

·         Rappresentare in un unico sistema di riferimento (adagiato sul supporto comune ai due piani sovrapposti) sia i punti del piano iniziale p, sia quelli del piano trasformato p¢.

·         Cercare le equazioni che consentono di calcolare le coordinate dei punti di p¢ a partire da quelle dei punti di p. (*).

·         Le equazioni determinate hanno valore locale o globale?

 

 

Genesi tridimensionale della traslazione.

 

 

·         Perché, quando p e p’ si avvicinano (col movimento regolato dalla macchina) i fili tesi rimangono paralleli?

·         Perché, quando p e p’ sono sovrapposti le lunghezze dei segmenti PP’ (che hanno come estremi due punti corrispondenti) sono tutte uguali?

·         Perché due figure corrispondenti (l’una su p, l’altra su p’) risultano congruenti?

·         Perché un vettore individua una traslazione?

·         Immaginiamo che cambi (con continuità) la direzione dei raggi solari (ciò avviene normalmente durante una giornata serena) e che la figura oggetto sul piano p rimanga immobile. Caratterizzare il movimento dell’ombra su p’.

·         Esistono in una traslazione elementi uniti (rette o punti)? Esistono figure unite?

·         Determinare le equazioni della traslazione in un riferimento cartesiano.

 

 

Genesi tridimensionale della omotetia

 

·         Dimostrare che durante il movimento (simultaneo e regolato dalla macchina) del piano p’ e del centro di proiezione O, il rapporto tra le lunghezze di segmenti corrispondenti qualsiasi (rispettivamente ombra e oggetto) rimane costante.

·         Immaginiamo che il centro O si sposti su un piano parallelo a p e p’. Quali effetti produce questo movimento: a) sulla prospettività fra p e p’; b) sulla trasformazione (omotetia) ottenuta quando la macchina trasporta p’ ed O su p? (*)

·         Ci sono elementi (punti, rette) e figure unite in una omotetia?

·         La traslazione può essere considerata come una particolare omotetia?

·         In quale sistema di riferimento le equazioni di una omotetia generica risultano più semplici?

 

 

Genesi tridimensionale dello stiramento

 

 

·         Quando p ruota attorno ad u (retta di intersezione con p’) perché i fili tesi rimangono paralleli?

·         Confrontare le lunghezze di due segmenti corrispondenti qualsiasi AB ed A’B’ nei seguenti casi:

o        AB (su p) è perpendicolare ad u;

o        AB è parallelo ad u;

o        AB è obliquo (in direzione generica) rispetto ad u.

·         Verificare e dimostrare la conservazione del parallelismo. (*)

·         Nota l’area di una figura giacente su p, è possibile calcolare quella della figura corrispondente su p’?

·         Caratterizzare (nello spazio tridimensionale) la direzione dei raggi (fili tesi) paralleli nel caso in cui la prospettività tra p e p’ produce coppie di figure corrispondenti uguali fra loro. (*)

·         In quale sistema di riferimento le equazioni di un generico stiramento risultano più semplici?

Parabolografo del Cavalieri

L'esplorazione della macchina del Cavalieri avviene per tappe successive durante le quali si osserva:

Fissare i due perni su p  (a distanza predeterminata). Prendere l'angolo retto e introdurre nei perni le scanalature s e t. Muovere l'angolo retto. Osservare il moto dei lati e del vertice. Si ha un triangolo rettangolo variabile. Quali sono i suoi invarianti? Quale traiettoria descrive il vertice dell'angolo retto? Perchè?)

Ripetere l'esperimento sul piano t, con queste diverse modalità: introdurre t in un perno A fissato ad f, ed s nel perno solidale con C. Si faccia scorrere C in f. L'angolo retto si muove. Confronto con l'esperimento precedente Il vertice dell'angolo retto descrive una traiettoria?
Introdurre s e t in due perni fissati su f (a distanza predeterminata, indicata con a) e muovere l'angolo retto: la situazione è identica a quella già esaminata su p. Ma ora, utilizzando il regolo r fissato ad angolo retto sul cursore C e facendo scorrere (con un altro perno fissato al foro V) il vertice dell'angolo retto nella scanalatura di r, è possibile “materializzare” l'altezza relativa all'ipotenusa. Osservare il piede dell'altezza, che divide in due segmenti (variabili) l'ipotenusa. Ricerca la relazione che lega la lunghezza dei due segmenti variabili alla lunghezza della altezza y e alla lunghezza a dell'ipotenusa.
Si modifica la situazione studiata in precedenza, sul piano t. Come in quella esperienza, il regolo r è fissato ad angolo retto su un perno K solidale con il cursore C, il vertice dell'angolo retto scorre (mediante un altro perno passante per il foro V) nella scanalatura di r: ma mentre t scorre vincolata ad un perno saldato (su f) al piano t, l'altro lato dell'angolo (quello che sorregge s) si muove trascinato da un ulteriore perno anch'esso solidale a C.

Così, uno dei due segmenti in cui il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa divide la
ipotenusa stessa, rimane sempre costante durante il moto (invariante).
Quanti gradi di libertà ha il vertice dell'angolo retto? Indicare con x il segmento variabile individuato sull'ipotenusa dal perno fissato su f e dal piede dell'altezza y (variabile) relativa all'ipotenusa e con b la distanza fra i perni C e K . Riscrivere la proporzione che esprime il secondo teorema di Euclide.

 

Approfondimento sui sistemi di riferimento

Le equazioni scritte esplicitano un legame fra segmenti (lunghezze) variabili o tra punti?
C'è una relazione geometrica invariante che lega i segmenti variabili considerati e non è esplicitamente scritta nell'equazione? (in questo caso una relazione di perpendicolarità)
Per scrivere le equazioni (circonferenza e parabola), si è scelto implicitamente un sistema di riferimento? La relazione citata nella domanda precedente condiziona la scelta del riferimento?
Qual è l'origine?
Qual è l'asse delle ascisse?
Qual è l'asse delle ordinate?
Sono (origine e assi) legati allo strumento generatore?
Sono legati alla traiettoria, e in che relazione si trovano con essa?
Gli strumenti analizzati descrivono tutta la curva o soltanto una parte?

Per la parte di curva descritta con moto continuo è necessario fare ricorso a numeri negativi?

 

 

Ellissografo del Delaunay

 

 

 

Ellissografo di Van Schooten

 

 

Ellissografo con rombo articolato

 

 

Iperbolografo ad antiparallelogramma

 

a)

(Nomenclatura: chiamiamo fuochi i due punti fissi; circonferenze direttrici quelle che hanno i fuochi come centri; iperbole la curva tracciata da P.)

 

b)

c)

 

 

 

Prospettografi