Trasformazioni elementari del piano in geometria

 

Tecniche di realizzazione: due esempi

 

Alcune attività preliminari sono necessarie per evitare che nell’area semantica del termine “trasformazione” entrino immagini e significati derivanti dal linguaggio comune, quando viene usato nel linguaggio matematico.

Per i matematici, si tratta di un termine tecnico non legato necessariamente né al tempo, né al movimento.

Siano date due regioni (figure) piane sovrapposte: i punti dell’una coincidano con i punti dell’altra, sicché le due regioni sono indistinguibili, identiche; per indicare coppie di punti sovrapposti si useranno notazioni del tipo (A, A’), (B, B’), ...ecc. (la presenza o l’assenza dell’apice individua la regione di appartenenza).

Una trasformazione è il risultato di un evento che ha separato le coppie inizialmente coincidenti, sicché i punti A, B, ...ecc. si trovano ora in posizioni diverse dai punti A’, B’ (corrispondenti od omologhi) benché i piani a cui le regioni inizialmente date appartengono siano ancora sovrapposti.

La nostra attenzione deve concentrarsi solamente sul risultato. Non importa quale evento si sia verificato, quanto tempo sia stato necessario: le due regioni vengono fotografate dopo che la trasformazione si è prodotta, e questa è caratterizzata dalle relazioni esistenti fra i punti omologhi (con lo stesso nome), cioè dalle proprietà della corrispondenza (biunivoca) fra i punti che sono rimasti immobili nella loro posizione iniziale e i punti prodotti dall’evento (immobili nella posizione finale). Se per separare i punti è stato usato un movimento o un’altra tecnica, ciò non ha alcuna importanza: il modo in cui la trasformazione è prodotta non interviene mai nella sua definizione (caratterizzazione).

 

Esempio (relativo alle isometrie). Le regioni piane siano rappresentate da due lucidi sovrapposti; ricordiamo che per individuare il piano cui appartengono bastano tre punti. Quando spostiamo i lucidi, separando i punti sovrapposti, da una unica figura (o regione piana) se ne ricavano due; confrontando le due figure (o regioni) si può capire quale relazione collega i punti corrispondenti, cioè di quale natura è la trasformazione. L’esperienza mostra che una medesima situazione finale può essere ottenuta da quella iniziale in infiniti modi diversi (nessuno di questi può dunque caratterizzarla).

Si può pensare che la trasformazione sia globale (estesa all’intero piano) o locale (limitata alle regioni inizialmente considerate). Alcune trasformazioni possono essere generate da movimenti particolarmente semplici, che hanno lo stesso nome della trasformazione prodotta, ma non devono essere confusi con questa.

In generale la matematica, nella sua evoluzione storica, tende ad espellere dai suoi concetti ogni riferimento al tempo (quindi al movimento fisico).

 

Meccanismi per trasformazioni. Fra le numerose tecniche per produrre trasformazioni prenderemo anzitutto in esame quella che si avvale di sistemi articolati o biellismi. Il meccanismo stabilisce una corrispondenza locale tra i punti di due regioni piane limitate sovrapposte collegandole fisicamente, e incorpora le medesime proprietà che caratterizzano la trasformazione. Lo studio dello strumento permetterà quindi di riconoscere il tipo di trasformazione che esso realizza: mentre il puntatore percorre una figura geometrica disegnata su una delle due regioni sovrapposte, il tracciatore disegna sull’altra la figura corrispondente (trasformata). Puntatore e tracciatore possono essere scambiati fra loro (biunivocità della corrispondenza). Oppure, il sistema articolato possiede due puntatori dotati ognuno di due gradi di libertà: non è nota alcuna figura iniziale, le figure che i puntatori disegnano contemporaneamente (le regioni che essi “ricoprono” durante il movimento) si corrispondono in una trasformazione.